2Dフーリエ変換は下記のような形式になります。
\[ F_{u,v}=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f_{x,y}e^{-j \frac{2\pi}{N}(ux+vy)} \]
似ているが、2Dの逆フーリエ変換は下記のような形式になります。
\[ f_{x,y}=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}F_{u,v}e^{j \frac{2\pi}{N}(ux+vy)} \]
そして、\( F_{u,v} \)は複素数なので、\( F_{u,v}=|F_{u,v}| e^{j \angle F_{u,v}} \)として分解できます。このため、\( f_{x,y} \)は下記のような形式になります。
\( f_{x,y} \)
\( =\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}|F_{u,v}| e^{j \angle F_{u,v}} e^{j \frac{2\pi}{N}(ux+vy)} \)
\( =\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}|F_{u,v}| e^{j (\frac{2\pi}{N}(ux+vy) + \angle F_{u,v})} \)
\( =
\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}|F_{u,v}| [ cos(\frac{2\pi}{N}(ux+vy) + \angle F_{u,v}) + j sin(\frac{2\pi}{N}(ux+vy) + \angle F_{u,v}) ]
\)
\( =
\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}|F_{u,v}| cos(\frac{2\pi}{N}(ux+vy) + \angle F_{u,v})
\)
\( +
j\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}|F_{u,v}| sin(\frac{2\pi}{N}(ux+vy) + \angle F_{u,v})
\)
ここで観察してみれば、\( f_{x,y} \)は実数なので、上記式の虚数部分の合計は必ず０です。このため、
\( f_{x,y} = \frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}|F_{u,v}| cos(\frac{2\pi}{N}(ux+vy) + \angle F_{u,v}) \)