もう一つの二次差分エッジ検出法はMarr-Hildreth法です。
これはガウススムージングから由来します。マグニチュードを無視すれば、二元ガウス関数は下記の形式を取ります。
\( g(x,y;\sigma)=e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}} \)
\( g(x,y;\sigma) \)の微分を二回計算すれば下記のような式になります。
\(
\triangledown^2g(x,y;\sigma)=\frac{1}{\sigma^2}{\left( \frac{(x^2+y^2)}{\sigma^2}-2 \right)}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}
\)
この式の\( x \)と\( x \)に座標を割り当てるとMarr-Hildreth法のテンプレートが出来上がります。ただし、注意点があります。このテンプレートは修正が必要です。原因はこのテンプレートの合計はゼロではないからです。ゼロでないと、各座標において算出された二次差分は全体的に正数か負数に偏ることが発生します。結局ゼロ交差でのエッジの検出はできなくなります。これ点を注意した上で結果を見てみましょう。
図1: Marr-Hildrethの検出結果。50×50, 標準偏差=25
画像が大きいため、この処理結果を得るには120秒掛かりました。